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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律  ] <Sc!r  
hrpXq  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. GPhoe Q@$  
Tfb\Zuf&  
　　1、三角函数本质： eVb*WKSM-  
j%9w-_  
　　三角函数的本质来源于定义 ~c;j Xl\2  
qz$T Y@Qs  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 *)L$` zx  
3D\RoC:M~^  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 z|RCe!X  
[#Q4cy[W!.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： &E}t  
G(GBuyxN  
　　推导： W' $ep5  
1t!rw/<3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 5IL `~  
86TZk?Eu  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) Ye0 5 t  
=!2^}Q7W,  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) Z*;fRew   
P>/Ez5cD  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 L,)92+3$-  
>?WM7iq3{  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） 5E`]/;8F  
MW7>I0"  
　　[1] 5O{YC2D  
u ;_k\O  
　　两角和公式 sFv@HJ.IiR  
U l6wd ]  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB p~A{7m P4  
hq( *v?  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  KQR,ZT$  
#&wx[L'r  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB ,&[q[7lR  
;F6-3D@J  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Q_j<ne%H  
{KGs 06  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) FV m`1K v  
wZ't -  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) @mxNY_l>  
dD8)}>Tn9k  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  1!o^F>6  
g 7"@^ Gm  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 9gjh lZ  
A'9'$r\I6  
倍角公式 pcZMYug =  
|qT\'R!R  
　　Sin2A=2SinA•CosA `gtc#`z;@  
<tB#SZK0  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 r_$ 8+@n  
LoyCzl<V  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） SG{Y@   
@.}3Q=1qy  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Phvbt  
CT <cfS  
三倍角公式 Lm&h1wdQ  
0y",}bh  
　　 $ FH(  
,ven,%WFv  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) rG8;;G -  
`245,g  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) t7t5C?ci  
*{Y<a4@J  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) H|^&]qPq  
Y|oX0u,`w  
三倍角公式推导 -|~ov _EQ  
Pre|'`goW  
　　sin3a @*W. C)%\  
ZpCD!  
　　=sin(2a+a) Dbn|UR;%Jq  
E(Xen|0M  
　　=sin2acosa+cos2asina )V_li>[d[9  
BrE{tV  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =}[7!zw  
%}ZF^ uTl  
　　=3sina-4sin³a 13`f"{  
!`,| g8/  
　　cos3a 6U[~I`  
ts k :   
　　=cos(2a+a) ?T|b?DQG9  
_@xB_)=sn  
　　=cos2acosa-sin2asina d0OrQ  
Mx[4>l1  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa g`l[U y  
LB{)YQGG  
　　=4cos³a-3cosa H yukY#sJ  
D@ez""VwV!  
　　sin3a=3sina-4sin³a ,tChpHC <  
|Apn>nz  
　　=4sina(3/4-sin²a) ZcfdMK&^kx  
n2C^E_&j  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] w #7Pp  
Cx(>W8E  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) G 7  Dc  
JtHTk4  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) QhN>mL  
Z)|w[_V<B  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] ET#0D  
";Q*l."  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) m$>} ny6  
G|*i A=N  
　　cos3a=4cos³a-3cosa _rQ#`["}#  
6"bdbx5UU  
　　=4cosa(cos²a-3/4) `, A`Y5w  
" H42Q -  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] Dip{^$nn  
?=A/B1x@Pv  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Vs8j \Y  
wa";5+Cs1  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) , ;wg6({  
^!Kb'L<'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} =@y&Q~q  
M2wmJS/ O`  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) >d<A)VU  
1sfW&MK  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] fbSMeOq#  
F0?cHT6s  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] c=' RivY  
qoWHrl0  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) Uj C}X6h  
s]aDUsp`[  
　　上述两式相比可得 }GQ a~}M  
 Q.w! B;  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) V&)G Qzcj  
e/4*rIB?2  
半角公式 vKy}M!Vu  
 p:yR  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ao Pl(UW  
U,O 2Nl,  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]4zl8lc  
. RW   
和差化积 F=_.J H]Uj  
ZxRt/x  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %8R\!#[L  
cfsOd 7  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] j=L>}"o  
,jiC<GiH  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] j) +pf[  
k(G^p2_  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] qO%T5y  
X"U|X  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) SiKm4>Z  
r9/!]?v  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 5]4^A2N_z  
ts*nlM<P  
积化和差 N_JVz+6G1  
a0ezKOh  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] !kVIfA?  
rd.17/"0R  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] @!<sM |l  
5?FY^\qmiW  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] Joo`-A/   
ABVCm u  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] bc+ta Dzy  
@+XvhoS  
诱导公式 dzk`\Pusin  
SIeY,H~7  
　　sin(-α) = -sinα )'g9{_80  
MoYHX|Qtq  
　　cos(-α) = cosα )N9WmPF|  
=,Lc-b1'  
　　sin(π/2-α) = cosα  Z7mC)  
D>sjk; h  
　　cos(π/2-α) = sinα <^/Dnm.(  
2&  1ut 0  
　　sin(π/2+α) = cosα l)a$v3Uo  
* xBtJ(A*  
　　cos(π/2+α) = -sinα MVVXNA4  
5Vhs6n3)  
　　sin(π-α) = sinα 3?tB/^ @%  
-GKD5f }'  
　　cos(π-α) = -cosα AGIx:!y  
z(sqo?a  
　　sin(π+α) = -sinα V=YLiJ ~{  
~sdz(/#;ah  
　　cos(π+α) = -cosα u}EG A  
3 KH=0}v  
　　tanA= sinA/cosA ?=no7 z  
e*5wl ]  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα wWI3n1p[  
kpp=?m{Jo  
　　tan（π/2－α）＝cotα 9A (ke(  
5{GFf[ri|Y  
　　tan（π－α）＝－tanα SZF;W  
5g @r  
　　tan（π＋α）＝tanα tB#p?)h0@  
]7; 3 xI  
万能公式 0E_i=9.9;o  
-jb}B&bKB  
　　 .uE2U E7>  
fe*&*<Rp  
其它公式 >I$(]Z  
~S n>@i<VK  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 p['al U4  
<!_dWFV;  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 |=" b#  
i/JlfdQx  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Te~=<D1dA  
:.h4  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 oU-> WkF  
HA + (Xdym  
　　对于任意非直角三角形,总有 @k|tX<e\_  
w k2-F>+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC iM\(i~5V}  
b k]t t~  
　　证: 8w5,w"R  
ssCs6'  
　　A+B=π-C qR0;fGesfJ  
yM ##kW*  
　　tan(A+B)=tan(π-C) K) {k=u  
e"la6 _Y  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) @n7f9bT  
r)g^qXf  
　　整理可得 ]!z^!R  
^K_=)=\w  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC =687oQG  
d ii->n[  
　　得证 4o*8J#N0"  
O- d$Qr4f  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 aFQYUP7s  
`m ~HGzg  
其他非重点三角函数 qZ/iy k:D  
uz,KfClT  
　　csc(a) = 1/sin(a) =_ap("5  
PSLMU!Qq7  
　　sec(a) = 1/cos(a) _-8q &IY6  
y/-.%cS6 ~  
　　 .wq_q[6A4#  
s17!OxF  
双曲函数 6qIl5"  
-ABNI-  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 ,&jZ4r  
|;/6q&  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 su\_m:  
{Ml _u>&L  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) |\;d3q`4  
1 RBMg  
　　公式一： U &X^QunAj  
T}]\E}V  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 5{[?a;"  
d! .I1<{l  
　　sin（2kπ＋α）= sinα H{S7Zn8  
z]xy\^m9U  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ? #w>HM  
Px9(@]Mqk  
　　tan（kπ＋α）= tanα J_8zl/+  
X NPKp+ze  
　　cot（kπ＋α）= cotα h;Nt.v32=  
izy]~kVL  
　　公式二： s" FEBv  
ntyw==42_  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： (bh rT[@  
*5ds>qsh8j  
　　sin（π＋α）= -sinα `%1a.SBY  
raM#:|/$  
　　cos（π＋α）= -cosα w- {)Ha3  
xErXGoq  
　　tan（π＋α）= tanα X3Dn{i  
= IO/3  
　　cot（π＋α）= cotα 3;acmbo  
w{X+! z  
　　公式三： >JzY=]53  
|EwRp]:<QT  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： KYCEYem  
j.B6`3;_  
　　sin（-α）= -sinα ,tz e/Ft  
:] ^9]3qtx  
　　cos（-α）= cosα $:K=/o;  
ClSrNNf  
　　tan（-α）= -tanα cN4O]:   
h^?lR|  
　　cot（-α）= -cotα PU^R69  
vwr:.H0  
　　公式四： RX})tKT~b  
"[f/{1=m ;  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： "^icgc>\  
*z 7$0j:  
　　sin（π-α）= sinα ),Li0aMx  
/})LQ+m  
　　cos（π-α）= -cosα 1l$g8tt3cR  
T W?sIu-  
　　tan（π-α）= -tanα Ur}p%X'  
:ZFFqcJK  
　　cot（π-α）= -cotα ,\@Ymp~  
tc+L0M{7w  
　　公式五： b(!b*<\j  
F-*Ga}~HB  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： .M!r. T  
?d\Cg854f  
　　sin（2π-α）= -sinα FDLbJ]> &Q  
6H]X=Wn  
　　cos（2π-α）= cosα T^<=k?2x  
hL.u0Jtg-  
　　tan（2π-α）= -tanα &Cl$%xG  
q-.j4q^}  
　　cot（2π-α）= -cotα kE:5@  
[tk)&hd  
　　公式六： l[|_5<nJ'  
wX5q[Gy  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： L/Z![k  
[V%T+gznl  
　　sin（π/2+α）= cosα ,wmA 4|M  
ycgC9Q)z  
　　cos（π/2+α）= -sinα 3y}.#Yf+  
59W&Dq  
　　tan（π/2+α）= -cotα x;Gi]Y{  
`,Nv ;Np{  
　　cot（π/2+α）= -tanα "6zvN=  
D8$0,WjD\  
　　sin（π/2-α）= cosα Xk Z:e/1*  
e >i~K .f  
　　cos（π/2-α）= sinα 7 tzWFE_  
OjO\%REX  
　　tan（π/2-α）= cotα xdewN|  
sLe O[ @  
　　cot（π/2-α）= tanα lTyJQ)J  
s<s H\b$@  
　　sin（3π/2+α）= -cosα y V4`!up  
BteNjq  
　　cos（3π/2+α）= sinα ,3K?w!y^*  
hFHXYz4z7N  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @qYo-  
 <}D'2Z  
　　cot（3π/2+α）= -tanα |i$o</ ?^  
ZD,39]&  
　　sin（3π/2-α）= -cosα &klJ  
r`u~FT3DjO  
　　cos（3π/2-α）= -sinα XL/FpBeO%  
C9ISgT  
　　tan（3π/2-α）= cotα *Wj7T   
BaJgc|x  
　　cot（3π/2-α）= tanα v SsnC  
9WZqB$I*  
　　(以上k∈Z) 9^RP0@[4  
dRe1& 2/2  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 Dkw\s&O1  
e). l *)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = s:; 1%%}  
d@Sip^-  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } %^Cp{  
[A/q+S  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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