日历

2025 - 3
日 一 二 三 四 五 六
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031     
«月» 2025 - 3 «年»

存　档

日志文章

上一篇/ 下一篇

2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 %81s\]  
;<wddmGK  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. oZ5%7Q>P  
E5uTF 2  
　　1、三角函数本质： (S0fj-Y  
P27k Z?E@_  
　　三角函数的本质来源于定义 e's"'e=St{  
F=f<akVh  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 @ P2(J2~O+  
:lkc4hb14  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 [>_#^me  
Xx)8IWt  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： ^k~O$G  
*6Fyu  
　　推导： o;$&2MP=  
""FqjeF- C  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 'T.`TQ41u  
AmS) EE  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) e,@:?9   
%YBB~,%  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) 0_;>:i j5  
.?Vn y8&  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 41<Gqt>]u  
2OB~]XSh  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） _YXF(^18  
q @D()E  
　　[1] R.ec9q)*  
O*%U5Y!  
　　两角和公式 hGJ/XXg  
Pqj`jO{,O/  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB flj:wQo[  
24-*M,z;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  `dlGkd |},  
hR}FzBC=+  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB }R}En=@_p  
=K.,=9(1~  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB  3b "N%  
:OQZFU1  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) P1VK2t sk  
LB+;RM`  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) h|>}j7d  
t{$CUZ&s  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  <TeS`Onm  
r_<q1kH  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) bdY? oLi  
SRR%Xl"T'  
倍角公式 ~?$ L<4jz  
Bk;,89ZB7  
　　Sin2A=2SinA•CosA Un"%]]!r  
sn~s|?Zi0  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 oqR0kmD{E  
4@j[$_  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） 1|EQE`|Pb  
ujA(8Zuu  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ObW{CZ*8  
v '$R=N#Z  
三倍角公式 l^;&lPHl  
Vi0+UbS3d  
　　 a G2ks8  
#[c4d]D  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) R+? A#2)0  
%fd3E6cO  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) y)2L,f$X  
D;LPyh  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) /-$eD(1*d  
M6<)o?!"  
三倍角公式推导 doZY$O(=3  
 +k7y2M"  
　　sin3a 6$(kXt6  
cy_1@z1  
　　=sin(2a+a) R$#{1:7e  
7j,|V(  
　　=sin2acosa+cos2asina a$XI>  
07W7g]=p  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina Z`<C.*W r  
` $y _b-  
　　=3sina-4sin³a `DB+I]C  
';s'//V4,  
　　cos3a - kiD|$L&  
;Y. XGIg-  
　　=cos(2a+a) Fg '-%Z@-  
jX,Sl"I~  
　　=cos2acosa-sin2asina n*5 Y:H8l  
-9-- }Vn  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 6!S3 ZNwI  
FsHQPTw1  
　　=4cos³a-3cosa l['s\  
0qM#XwI0  
　　sin3a=3sina-4sin³a 99qX1Is  
3}7/8`r`l  
　　=4sina(3/4-sin²a) `?}]j#Q]  
a~t"uV&  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 'I0kmPs5  
ZcCIg73[  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) 8OhV4<&I  
7"^q[xGZ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) p4\]"k,q  
f z`\_7   
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]  X+fg[  
eC~Of!Iul*  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) P"%y a{  
!<<H9hK  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Ul&!`Z^l  
BJwTlk  
　　=4cosa(cos²a-3/4) c4zt+ J  
Ub\}J0>  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 3^KL h  
 0F"aE+b  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) L BL:2  
B p HAE\  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) [V$%![\`3Q  
.!7AO8aV  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ysvh>|p  
MXw8n>H.  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) kFiZ~LJF>  
C36;bhnE!  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ]_[JzN@!  
u11+ hPlH  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ]O,Si-6  
\_8Y* 7  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) ~#kT~lB)T  
isM_qrCp  
　　上述两式相比可得 )\xBoD/  
> ` FR}  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) k;a?^M .  
g"A@z'}H  
半角公式 YL=tkJ  
#D/m a   
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); 0pP\MC`:U  
eBg_$E !]  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ZO[v:nyz  
*\*QO7 w  
和差化积 ^fosQN5Z)G  
K|ONV}k  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] c+UT4~:p  
Y7 nz  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] > tcFIH?W@  
=&+1t~  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] %,Gr{Pfu  
9!eJuDu  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] o posJ[  
m@vz\l#C  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) LO A|BLJT,  
^8W0]['  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 1`JMjL"$  
j6} {K{c  
积化和差 unx|T9 ''  
%bgrP'E]  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] +gb]~*~5X  
-rD-Uf  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] e|x:.78  
(O)`s  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] X2,s>  
bF9"%g9/E)  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Dqbs|B1*  
Y-kxn y!  
诱导公式 c|[hjWW5+  
Ng8I%6(  
　　sin(-α) = -sinα L&,/,V  
LYLm`'J  
　　cos(-α) = cosα ?uTcH8{  
E!\$rCC=  
　　sin(π/2-α) = cosα K P;?Og1F  
7 u\u~i  
　　cos(π/2-α) = sinα &YkE&7q,  
]h{{I>t  
　　sin(π/2+α) = cosα c(=@,{{U_  
_2_Z5q  
　　cos(π/2+α) = -sinα |YE@Lhd  
Z& 0!{R$  
　　sin(π-α) = sinα >Kf9%#   
'qO'K#  
　　cos(π-α) = -cosα 2^jN;J@e  
x.tCs^>T7  
　　sin(π+α) = -sinα O {HfX'  
uj(c:s4R6  
　　cos(π+α) = -cosα Or?'t  
j~yg!H  
　　tanA= sinA/cosA b3+~qm//  
2~[I=Jg  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα Tm >$Gq %k  
fArV5fzLd  
　　tan（π/2－α）＝cotα U)5s  
;;cL'6ERC  
　　tan（π－α）＝－tanα JaK{5^E-Z  
Z`l&U DHU  
　　tan（π＋α）＝tanα G7T (#:  
*#rnRS  
万能公式 fLU'eKS0}3  
l"! 8mb  
　　 0=m,MG/  
05D>?M570  
其它公式 o1 f/:o]  
o$ - Yy#  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 y%.@(l\[g  
X)RES9\.y  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 B%PikbB  
lrShh2~  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 >E@r..Zt  
f*s$FsI`  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 ! 9m$  
3bL!<I{trm  
　　对于任意非直角三角形,总有 -UO/hAO  
{P&3u1  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC k cG,KN  
jh{6?-u  
　　证: CT;EtZw  
SK\QmCBN}  
　　A+B=π-C ?0;/T1#6(  
3_1 X+_  
　　tan(A+B)=tan(π-C) q_}Qsq}A  
"MHhQ:^*  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) w M `  
WObm/_3rl  
　　整理可得 uY[ a;  
P nM![uW  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC P?m5?ah  
hzfM0b.  
　　得证 -21H[WW  
fSN\.pY@  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 w@))q'hDO<  
X]N1r4'  
其他非重点三角函数 at 0#0  
s."?4q V@  
　　csc(a) = 1/sin(a) vw+fb_D,  
itXf>[dNX,  
　　sec(a) = 1/cos(a) T||D z  
</| 2Jw  
　　 <& P'I]  
RBsE+.s  
双曲函数 ]kN-G*6D  
+j7`>G(  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 B1!@oCTz9  
<?p?m 'L  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 7VSU5b{(  
05%+:".1f  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) d GO (mn+  
U_5IVZ-*;  
　　公式一： o,ph/Wg  
oSevVY!  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： #lShD J  
]I9YtTBa  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 96QqN8O7  
v$/*O$t  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ]bsK s4  
5We^-Tr  
　　tan（kπ＋α）= tanα \)C}IOJ{-  
hZ.oyae  
　　cot（kπ＋α）= cotα /Na/.  
 vVSfZHc  
　　公式二： aJw=0a  
cBH*ty D  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： #=Kl|3*~  
%}svu)o  
　　sin（π＋α）= -sinα `4'L/QF ^&  
l+P=:  
　　cos（π＋α）= -cosα IQ TxD;H  
jx?;&  
　　tan（π＋α）= tanα uIFtny6  
'$ tw  
　　cot（π＋α）= cotα oA8R /.  
[}9 st>b  
　　公式三： 5hNkV  
Seqj0g  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： (vw  
>vJvl SR  
　　sin（-α）= -sinα ' 9FEbB  
zY:DW]5ld  
　　cos（-α）= cosα ;_-z}Y(U?  
/ ;uvfTJDg  
　　tan（-α）= -tanα -5gEaB6&  
&2tC"V_I  
　　cot（-α）= -cotα ^2yqU=$  
~C{>3M!@  
　　公式四： Y{Gr W/  
lq\s,jI1d  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： &9rM!U~2V  
*VXfdoh  
　　sin（π-α）= sinα UQXGo25  
v*n9z)o  
　　cos（π-α）= -cosα +`@4*8FY  
cdR_aB2Y  
　　tan（π-α）= -tanα _H|<Db1%  
bE & TBC(  
　　cot（π-α）= -cotα R?9Ekh  
I0K17{v8C  
　　公式五： a*RS@F  
//&V kua;  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： xXU AZ1w  
2OjY=MTm  
　　sin（2π-α）= -sinα /o2?Y70 6  
9uY >X6I  
　　cos（2π-α）= cosα euG:N)n+  
{?Qu6r   
　　tan（2π-α）= -tanα a7EzLLl  
urw}&h  
　　cot（2π-α）= -cotα Srq Az= c  
JLsR(jxer  
　　公式六： M]k<w$Ut"  
JCb5`KFP\  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： a3} KXmK  
PmdkF-Y*  
　　sin（π/2+α）= cosα h:}A.,&0  
tC<X:[+  
　　cos（π/2+α）= -sinα cmZS_(il-z  
[0;)s` &  
　　tan（π/2+α）= -cotα kNZ's  
<^?3;%  
　　cot（π/2+α）= -tanα |? *47]H  
^`B U6  
　　sin（π/2-α）= cosα +Dn/D  
s@~.&X7^4  
　　cos（π/2-α）= sinα )IBN1u<T ]  
%E-iQQ  
　　tan（π/2-α）= cotα hb mAk4  
<c7~m9-  
　　cot（π/2-α）= tanα 7h"`w^U  
$</q"0fF  
　　sin（3π/2+α）= -cosα >+?DEuU  
sQiMnhq|  
　　cos（3π/2+α）= sinα R+sxl.qxi  
6auAyuF"q  
　　tan（3π/2+α）= -cotα @>f +>" p  
/^y|z;U  
　　cot（3π/2+α）= -tanα euV0x?EQL  
X Q/ wK9P  
　　sin（3π/2-α）= -cosα .I~WNAA  
9]~\N81  
　　cos（3π/2-α）= -sinα "\ P42V  
P? -:CI  
　　tan（3π/2-α）= cotα Fv$(8e19L  
D0M`NH-  
　　cot（3π/2-α）= tanα K.Mcv]1  
"'P^T*G95  
　　(以上k∈Z) *8fEGCa  
RQ!L@e%qU  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 rlPS)r9  
mG{e\)6F  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Xxoxt Nro  
xF}9L1`4  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } d|Zc64^  
d\ #_` q  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
类别： 收藏 |  评论(0) |  浏览(15635) |  收藏