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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ,6p=ZPa'  
=RF_b?v&+  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. 2g7BraQ/W  
&$(0Ty%kgx  
　　1、三角函数本质： !Z6-y1u95  
A7)/ y+  
　　三角函数的本质来源于定义 t.xtK|z  
s~P,m W  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 ej _gK1  
#dV<!BH  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 KL}^Vw{{^  
;nC]Nj,e  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： /6)r}?$qI  
s@8mk G~  
　　推导： y~iSR-#X  
+!R]jA,  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 (n!_ R^4u  
A o|H%#K  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) -N>}xJ4  
VHcZk@ge  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) s&`Qqb|62  
58 x  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 M~] wI  
x~"kjMO  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） ~Y^J;y%0  
:u+<lDc  
　　[1] o GL[N  
>&q1 vZ]P  
　　两角和公式 $!?1tyne  
fd\* S< :  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 9nq3\Q  
B:/PDi+O`  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB   GvK};hq  
",92,j  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB <}WzIY  
u`U?P3+  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB .cp9}-"f  
$962[,"T  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) +Wr%+bx~  
o`x<kNd6n  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a{`D8Eje%  
OWBBjT KN  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  `hBA&f7m3  
P)AXWkxBK  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) g 9n'#&2Pg  
xB^-z4~(  
倍角公式 =tCcR7l  
T"u!9:%  
　　Sin2A=2SinA•CosA j*|VE*axI  
GlzEE=< 9  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 &Ri(j86  
37}TC4  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） ?Y[P<1YG  
;IJ+QK dB  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） -yo:M(q^|  
F A#+$EQn  
三倍角公式 YOe-xyZOUC  
F+jP(j?aZ  
　　 GnP rqd!B  
hWPmk|6  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) 943NBN  
)SDjjB  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) VAZ]:frm  
Ro_ij!CoQX  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) F!heu:lPa?  
~@[ OgsW0  
三倍角公式推导  BF >  
;G1e>y X  
　　sin3a ;}+KQ;k\  
LL-0YZ0bj  
　　=sin(2a+a) &s[!%`kW  
4{g u&s  
　　=sin2acosa+cos2asina 8NLXfh=  
SO3_ D!7  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina S.~DGPM /  
5 fuMP"  
　　=3sina-4sin³a ^:s q2nI  
.| t`"[  
　　cos3a IIJ&|1:  
}0h%(uh  
　　=cos(2a+a) cS*$c)"r  
}Cy@*zdm  
　　=cos2acosa-sin2asina iKy~ Fm  
|Lr-CRAlT  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa __a}YV  
JJb*M *X  
　　=4cos³a-3cosa o:4}Lsln  
Hp \ d  
　　sin3a=3sina-4sin³a e%^'BM s  
&0;"cYk58  
　　=4sina(3/4-sin²a) gC2&{Jh.  
Hs)%1  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] \]^9<4  
vw\%T,Un  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) h+aZniKY  
~H8BI  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) *ZL| C4R  
[a-h`z:  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] LXlGF^It  
N}%S /@2  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) :u/Pq D  
]8&"rxd  
　　cos3a=4cos³a-3cosa D@KSI/  
A*r6b&<qe  
　　=4cosa(cos²a-3/4) <YqbQ  
RX' 6lGtz  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] 153kTz  
AbE"kc}n  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) & oKb$]Z  
UmdM\? h  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) (5qd%!b{  
2^y]m7Z  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} Q_,TWbt(  
Bq'8Z1YU  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) [^LH*oU  
"|gMd!.&  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] GG9C z "y  
i\w#`b  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] agz-8[  
nwQ.T-Q  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) e>}&x77R  
$Q|(_p  
　　上述两式相比可得 TqfT9HDzyC  
 ( kJsa)  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) R)r$ <2^  
d!kl9u]d  
半角公式 K-^76;>"  
z>P%N  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ]q}@_  
@@&r ge  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. K lFyseIdd  
~hWJX-(  
和差化积 H#b5'#I=  
^Ie2`g{  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] dk9 Pl(L  
-~? $[K4>  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] ][1L/^N  
_'D0v!o  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] *nI{"\%@  
'b!QERqq.  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] `;%\f\  
+Y&7Q $  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) U\z`GOnVNF  
2g+C*91  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) BVB[]Ma(V  
! qf& A  
积化和差 cwZqVwW  
l$&VHa$  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] H \d7  
iQ =4  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] +I\O#<  
>iR y8)beR  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] ' &l(H  
np_.;p  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] K0`NjR|U  
`O3kDuZ  
诱导公式 Cn+m6`  
i8{5&h  
　　sin(-α) = -sinα Fe},B? 9  
4sV<jsw-  
　　cos(-α) = cosα <u,yF$  
jJZq5Ci  
　　sin(π/2-α) = cosα {_5o3:b%  
k9 )JI =c  
　　cos(π/2-α) = sinα [ n.PUX<  
DW!p  
　　sin(π/2+α) = cosα c/lV&fkg<  
.S8.On,>  
　　cos(π/2+α) = -sinα  x=ZG`  
J)F#Q9=   
　　sin(π-α) = sinα Jm@^1O6R;  
q Q[h  
　　cos(π-α) = -cosα jl *:NxB  
h)"Q9lTn  
　　sin(π+α) = -sinα O)SD} qq  
2=XZH6f  
　　cos(π+α) = -cosα lr[t<Bc6%)  
03d,9zVR  
　　tanA= sinA/cosA 7n sc?^m  
45p  f  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα 5mNIC4LdU  
g? _?l)n  
　　tan（π/2－α）＝cotα 1&5 lv}~  
OH2HSIhRLT  
　　tan（π－α）＝－tanα (% Is  
.0r +f<n  
　　tan（π＋α）＝tanα AACE^S'E-  
'0WkFg,;N  
万能公式 :Q}ip2Bj  
Vm)<@SX  
　　 ep:Iz]-Dd  
B&NnS[  
其它公式 C8 Q8$,?  
y PwaaL*  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 hw0bAJ4  
Ntlev&>F  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 bd508}z&  
'{#kc_j9N  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 r%0ZTKjv n  
LA)ls:QVv  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 D4I#I=P<}  
roX)=qD  
　　对于任意非直角三角形,总有 NT47v|,'M  
~!6zt<l  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC :tL|fihN  
mpd$(\u'  
　　证: jQ#oe:[&Z#  
Q!*Nn+G,  
　　A+B=π-C f eC|||d  
@,G@*C  
　　tan(A+B)=tan(π-C) BnPS9VXm  
J{oKoe_G  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Ap/<>z2z&  
mGUc:z  
　　整理可得 +SncPoj/V$  
3OFjF  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC mYBT\-  
Ajq>8b= 1M  
　　得证 Px>C|Y |h  
lZ &7bE|T  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 elp9O-ORw  
L0QGv5)  
其他非重点三角函数 5=9!X6(Hn  
YjK[`%PNi  
　　csc(a) = 1/sin(a) 3NKQ?)Dl  
27$,J_|2*  
　　sec(a) = 1/cos(a) 0o:*zjph  
)BWw93OZ  
　　 Pg6m|(nbk  
~:$TAqEO  
双曲函数 =d]m{D3  
/6~w{R  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 @!T11P!8  
_D//Z`t]  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 63OOR ey  
8SH lF  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) i;sB v3  
RLT!_9_  
　　公式一： ^#802zvQv4  
1+ >He 2  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： SBc>,qd*  
N7~Nk ^sY  
　　sin（2kπ＋α）= sinα Zq}.G1xm{  
dB{DzteV  
　　cos（2kπ＋α）= cosα .VN. # '  
$7ajT  
　　tan（kπ＋α）= tanα 5gJhW=  
< A9>1K  
　　cot（kπ＋α）= cotα :w4|~sNy  
D&phMs  
　　公式二： ' ]b30J[  
_VRy:s=}|  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： Xhhj:W I  
lvUd@Oy:  
　　sin（π＋α）= -sinα fu\ s:vR  
P '+N   
　　cos（π＋α）= -cosα 0LROx-o!  
jV>petKAg|  
　　tan（π＋α）= tanα ,POrQU\<d  
o%R7KJN7z  
　　cot（π＋α）= cotα ,p0f{Pd0Y  
^ &W;KTCO  
　　公式三： `|c d8S  
s '+'WX  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： @y/il>  
\iS#$.  
　　sin（-α）= -sinα H/N4w2O&  
+ KIo ]e  
　　cos（-α）= cosα p?b $W  
~_ `Od  
　　tan（-α）= -tanα 14\'nu  
G6aOdD.i  
　　cot（-α）= -cotα ;OS/ E.*  
g@, W4ND  
　　公式四： h6P$`!id  
%|mIBN$  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： e?lNC@g5  
L'5@}h(e7  
　　sin（π-α）= sinα 5'0HD ;z+/  
6G[mO %  
　　cos（π-α）= -cosα N"4 95JJ W  
TZ3g~Pev  
　　tan（π-α）= -tanα qp2}RHpR?+  
#W4"w#  
　　cot（π-α）= -cotα uxo)dG<  
SpnH{C%p H  
　　公式五： @eb**.X  
9wvaN'^t4  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 7aSZeL31  
CIXS; ~n  
　　sin（2π-α）= -sinα <7=`stK27  
(xQ3o3)@  
　　cos（2π-α）= cosα < ,- -U  
:a.XeSV  
　　tan（2π-α）= -tanα DL]\[d+   
k%P"H _  
　　cot（2π-α）= -cotα WaO#nvQ*  
+FadjcjL  
　　公式六： $bk~W]X  
hxNS9&  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： 3eREl rM  
RK_Y rI  
　　sin（π/2+α）= cosα lwU9X  
 e=4`M  
　　cos（π/2+α）= -sinα UQMAs]e9  
9| 4pR|  
　　tan（π/2+α）= -cotα a7ns6W;p5  
lz, V3{  
　　cot（π/2+α）= -tanα LjET.)GN8  
^WD&eF  
　　sin（π/2-α）= cosα &2)w~z[x0  
d@yj6fi  
　　cos（π/2-α）= sinα gi-y$ ?  
d?l; {X  
　　tan（π/2-α）= cotα FgV@0!5LR  
hYzN%3y*~1  
　　cot（π/2-α）= tanα yq;K(P~I  
ZlJLe,o^  
　　sin（3π/2+α）= -cosα V]j)p/yZ)  
U5 Zh+7  
　　cos（3π/2+α）= sinα jUoA>9/(  
s<.72I5L  
　　tan（3π/2+α）= -cotα :.Cv"uri  
;TR0Z'+9  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;BQ>Y`.E  
sp`{a(}@!  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ] p+iQE&`  
!j1 <d~#c  
　　cos（3π/2-α）= -sinα %a2 "w5,  
)Jb(q,0j  
　　tan（3π/2-α）= cotα k2 s*[}v  
C_`58:,  
　　cot（3π/2-α）= tanα J*fK%+|1x  
MoO.Z@.  
　　(以上k∈Z) :>w^I&WK  
,sdr>W-7.  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用  |zGSk  
]fL`\JoW  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = oy.\ kby  
%`-'QT  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 6FLTF)0B  
(iqcR^S 5  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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