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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 d7+quO09  
3!B.=miA  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. +e*Jg9N |  
8n'])e_  
　　1、三角函数本质： N$"|qY;nY  
e s^$%<?oz  
　　三角函数的本质来源于定义 a r>.A,a  
G d;F$&l  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 "Z,X^$   
Bv"oPp  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 &iRO %d  
CQH4HvR  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： DpQgpXpqX#  
EtIFxuv3  
　　推导： 2O6?V7  
=c\z&<]  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 Q ^kt%:V  
sVdxg:xX6  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) DQf<Gf8,O`  
d `T"_:h  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) rD F.?4  
.]Il3w)  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 <UMw;mCy  
.R[eq?zh  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） RRiza4_:R  
?xXb\+G Q4  
　　[1] \+{ 9vw&  
l {1 Lg'  
　　两角和公式 DE>DE)[uA  
AMxmc.]E  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB !!-/"L  
Jx $a t<U  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  M ";~}p  
}aOVD  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB dmXE%:!va  
[0M]+#BN  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB 2mr*q 5H_  
5zrXU C  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) z7 ]hi  
n?::(%(eM  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ?S0PC  
HkLS@HjGm  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  Dm7{vo  
:jdx\r!   
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) %*P*ZdI|Z5  
SY4X-T=M  
倍角公式 IM)G0D(  
M]#t8J'9a  
　　Sin2A=2SinA•CosA /Z-h\0J  
=lMCe'c$  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 3M^XgdNeN  
:I X~o*1@  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） +p ZZ>  
4*sg-/:S  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） M ,Us>V*X  
#~fyC9VK(X  
三倍角公式 -m7k`T,s  
L'TLYm^1I  
　　 !$B 13g   
:B -)  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) Y=+V?Xh77  
B}uQ_kbD  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) Rw: YD}^  
8q@&cdR  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) mSaM Ud+  
]f Txg.XPS  
三倍角公式推导 x?P&v  
*(!q58pj  
　　sin3a T1Qaxv O  
eL$$I  
　　=sin(2a+a) |*%L0ja  
Gj$F23;me  
　　=sin2acosa+cos2asina y#{F|f  
UAp1iEOHV  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina XDNP?`+  
9o eKYWG  
　　=3sina-4sin³a m!}4BdLA  
L 6fI;I kq  
　　cos3a DR1Xk=d<  
.y [we   
　　=cos(2a+a) +cNd2  
%3XN+m K*  
　　=cos2acosa-sin2asina E7E!KLT  
=U[=1L,  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa HDS>M9]  
[+#1Y&ya+  
　　=4cos³a-3cosa 5 &tM @  
@LJ.mN Eh  
　　sin3a=3sina-4sin³a [znMV5a%"  
fkxm;]N"  
　　=4sina(3/4-sin²a) 37S$P|J9H  
g"U,gFw%  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ^%TQnZt;  
7TP'o_h  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) s[ S1!F4*  
Jg;Uhq/QtQ  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ;()'Cl  
.OT!dlH>  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] #FKpE"y N  
Gq ",r}|W0  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) {H4pOS/  
SS`'vn9)  
　　cos3a=4cos³a-3cosa A KmkNQL  
R O|A"  
　　=4cosa(cos²a-3/4) t#0%t ?~+/  
le>bp~rEE  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] s+AK uGS  
<pAq+QH4  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) p0L<I T  
oQR %F  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) qWZ-J'p b  
{"7R6i  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} sbQ3e  
vQ]%"[  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) k/WrHTr+1  
b7bF(_N  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] n>"/tgo  
6w%%Tf;  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] a]i hSG+  
5sC6fl  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) CUjfnAs  
aO)ldAWL  
　　上述两式相比可得 {w 4/~Q.  
!L=UOmBl  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) tX44TTgiYw  
*b_?IQBA  
半角公式 uX k,e4t  
 #.`-i  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); ,f` ~t7  
z/F>I7$L0  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. %qxy{u]UF  
[m~&V`\$D  
和差化积 \3i1xHUI$  
Q7+i*9q  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] A3 `!HUxb  
b?8UY  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] zai<Mk2V  
,wUB  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] OQcKyPL  
|w_Vo>. l  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] S2O{g$y-  
92t+^aGD3  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ->)41{&44  
B'Jx6l#  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) fe 4~F 4T  
g&6`\Qt  
积化和差 /E v*C>z  
8SAjQE~  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] }VG=4FAN  
:!Ga\V  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] Ezp];e+y+  
Fwk>WOQE  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] c<9/>jBg  
o [K~m*  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] |0]fZ~  
P4n?oRCe5  
诱导公式 NfFB{r$@  
:]/-&sUh  
　　sin(-α) = -sinα {xe'iq0l  
;<!{mC"^1  
　　cos(-α) = cosα Pz{J6aR^N  
}n1L4x{  
　　sin(π/2-α) = cosα D6cNz?NPP-  
>c< prY  
　　cos(π/2-α) = sinα ie@D=V  
Rg` D[o  
　　sin(π/2+α) = cosα qcUt(|/`Q  
+aB8=VU=  
　　cos(π/2+α) = -sinα zZ5n5],  
[qjiZ99SX  
　　sin(π-α) = sinα 1].g&/J}  
r6aD2V(  
　　cos(π-α) = -cosα ,eYRoQa"w  
e0{m5 @  
　　sin(π+α) = -sinα wwgVp8  
r)BqHP k  
　　cos(π+α) = -cosα Pyz!kE:b  
-EJ] <1{  
　　tanA= sinA/cosA Ne=V\Ief  
EMo(WL#S  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα =B;\&7h  
tOmp 92a&  
　　tan（π/2－α）＝cotα 4n)5[ZFZ9  
wUSaNyu0(  
　　tan（π－α）＝－tanα i |0lmw \Z  
9V3{r:Fl  
　　tan（π＋α）＝tanα Qa;:og  
4nXw=>U  
万能公式 r@_7ZJXv&  
F6`b4i!u6-  
　　 v\hQ]9|s  
TQ[gp'  
其它公式 kt([>,!  
5!/8i  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 !lt@j?E  
}{#MB-dCJ  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 9aY-MiM@  
SGf7}n~Y  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 ;/ d?\:  
M],4!P  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 tRAT j  
RHKY  
　　对于任意非直角三角形,总有 ]+<Q :hf  
iX&rw l<l  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC YB=Aq$9K  
c<<fGuW0_S  
　　证: {q0k00"  
fwX+QO{:kF  
　　A+B=π-C `r2X3E8J  
8~'InerM[  
　　tan(A+B)=tan(π-C) ^|HIg$O  
%h[-`vB}  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) 4q%)%XH  
ZfP]=QpZ6  
　　整理可得 3AaPhuk>  
;bJ=Vu  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 1X%!]&D J  
SL"pyP^vnx  
　　得证 Rt>JTWK9L  
dKe3$  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ~c 'zHL  
@X+Z&}co  
其他非重点三角函数 B[A7ctc  
CuW+Z[+  
　　csc(a) = 1/sin(a) dWSpK/f)  
| B@xY.jw  
　　sec(a) = 1/cos(a) \1|oj^  
r?rQJ\$Lq  
　　 Zv2'e~q1  
M#U" \  
双曲函数 ,[dnd_+/K  
AXLUPebT  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 TlY2Ocx{4  
Ut':fQtu"  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 +7U3YbK  
_PWq u zR  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) `200/9~n  
#V|Gho6=  
　　公式一： ZgJjCJBC=e  
vA/;W$bCsy  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： ;s'K9)6y  
)U53?cun6  
　　sin（2kπ＋α）= sinα L{y2W]Cv5  
>8Lq]%J`  
　　cos（2kπ＋α）= cosα q6v0L  
w/ .]   
　　tan（kπ＋α）= tanα v5 >1=p  
,`U"<!>p/  
　　cot（kπ＋α）= cotα k0}5r f8>  
>W-{3mN m  
　　公式二： *u]4cYBq  
,)M=nrB  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： TYwVy`TWd  
Ox,J&Mh1  
　　sin（π＋α）= -sinα P0Ya,/6G  
Zo4>Pp~qR  
　　cos（π＋α）= -cosα .2j 1!-5+@  
8$ ?1GAc  
　　tan（π＋α）= tanα F$,?r)l>L  
d#V}1x*]  
　　cot（π＋α）= cotα +fW9(z@t  
:o:IM3dT  
　　公式三： Ud = iCSa  
$lG^B=  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： g%R[PE*&  
lL p2W`j  
　　sin（-α）= -sinα \r**mu  
T1(G|L[3G  
　　cos（-α）= cosα `^7&Tx,!g  
b*2fd s/  
　　tan（-α）= -tanα 06 -l[k  
MCq^IXAZ  
　　cot（-α）= -cotα "@v HoBt  
MDEzv u">  
　　公式四： e+f@;hp  
HQLR6'A^  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 8,)T8h$*  
`[(r|S A  
　　sin（π-α）= sinα SaavYx,m  
Q zN9Ifn  
　　cos（π-α）= -cosα 5mY#CDkj  
GvM5(qU)  
　　tan（π-α）= -tanα 6<;m &hC  
@i{#EkcC  
　　cot（π-α）= -cotα 6ui,< u~  
_|!kM/xv  
　　公式五：  K bo{l  
*hRNNJ v!  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： \XR7 qT8&/  
MW+!%e,|=  
　　sin（2π-α）= -sinα V4R v^.  
I{~Cm  
　　cos（2π-α）= cosα (V>{,.L15  
^f}W; .a  
　　tan（2π-α）= -tanα l42A&  
P [~C-K+  
　　cot（2π-α）= -cotα Q<*i-8,X  
8G "8-*%d  
　　公式六： Ote5IY  
WI<AK e  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： m DaTei+  
;VVm r?  
　　sin（π/2+α）= cosα JR=!k}Bsb  
] J(HUu &  
　　cos（π/2+α）= -sinα 6rdSvVeo]k  
4GH0_ZB$>  
　　tan（π/2+α）= -cotα l9'\AIQo-  
EZF0hH5  
　　cot（π/2+α）= -tanα 9DVLUjtBw  
VnUG>=lz  
　　sin（π/2-α）= cosα f;ji'1p>>  
;2@kq+  
　　cos（π/2-α）= sinα VkYFn:Q%dO  
!,mSD.\F|  
　　tan（π/2-α）= cotα ~$}+ (5  
-UcDqoq  
　　cot（π/2-α）= tanα 02/aVk]  
u u5O;G  
　　sin（3π/2+α）= -cosα n46y Z'~N  
I8=8Uy )  
　　cos（3π/2+α）= sinα XAJD)y  
-hr$` S  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 4Z:/VVI!r  
rM%\W  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 8CF'9OL~  
u7<x $   
　　sin（3π/2-α）= -cosα Sa`xb@`sU  
Z g~ldOo9  
　　cos（3π/2-α）= -sinα *G]*+]42  
QA tylQI  
　　tan（3π/2-α）= cotα ;F# |T\)U  
>yb"\dD  
　　cot（3π/2-α）= tanα  ?OJl@6  
o7QF##{V!  
　　(以上k∈Z) l*x fW%fM  
\1Q2>}F  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 u [DK !~e  
dK8T-v  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = b74,oAV  
P^ HdD>e  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } !r>8e9  
u& 1U28A  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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